拉格朗日乘数法

14.若实数x，y满足 $x^2-4xy+4y^2+4x^2 y^2=4$ ，则当 $x+2y$ 取得最大值时， $\frac{x}{y}$ 的最大值为_

【解析】首先我们设一个乘数λ，设函数 $f(x,y)=x+2y+\lambda(x^2-4xy+4y^2+4x^2 y^2-4)$ .

这是一个二元函数，但如果我们可以把y看作常数，x看作自变量，求导，并令导数等于0：

$f'(x)=1+\lambda (2x-4y+8y^2x)=0$ ……①

同理，我们把x看作常数，y看作自变量，求导：

$f'(y)=2+\lambda (-4x+8y+8x^2y)=0$ ……②

观察这两个式子，让我们把乘数λ消掉：

① $\times 2 -$ ②得 $(x-2y)(xy-1)=0$ ，

如果我们把 $xy=1$ 带入 $x^2-4xy+4y^2+4x^2 y^2=4$ ，同样能得到 $x=2y$ ；

因此， $\frac{x}{y} =2$ .

（偷偷看了一下答案，嗯，没算错）

理论上是要检验存在性，但是高考填空题答案显然不可能不存在。（如果不存在，那是老师出错题目了）